domingo 22 de noviembre de 2009

Tesela Nazarí avión.La mitad de un cuadrado.

TESELA NAZARÍ CON LA MITAD DEL CUADRADO
A la mitad de un cuadrado(un rectángulo) le recortamos un triángulo rectángulo 1/8 de la figura inicial y se recoloca en otro lugar exterior del rectángulo y se repite el procedimiento.


Con idénticas teselas se cubre el plano sin huecos.Un buen ejercicio de taller es construir teselas nazaríes y formar un mosaico.Es un material manipulable compatible para alumnos invidentes.

Continuará si Dios quiere

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sábado 21 de noviembre de 2009

Tesela Nazarí Estrella y mosaicos de la Alhambra con la mitad del cuadrado

Tesela Nazarí "estrella" de la Alhambra de Granada.El rectángulo inicial es la mitad del cuadrado.









Mosaico de la Alhambra

Mosaico en la Alhambra



Ver applets de J.Mora.Excelente explicación en las páginas Web de http://www.jmora7.com/
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SI LAS TESELAS SE HACEN IDÉNTICAS EN CARTON O MADERA O MANIPULABLES SE PUEDEN UTILIZAR COMO JUEGO DE MOSAICOS EN PLANO CARTESIANO PARA INVIDENTES.
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jueves 19 de noviembre de 2009

Tesela Nazarí con la mitad del cuadrado.Clic en mosaico para zoom

3.-TESELA Y MOSAICO NAZARÍ CON LA MITAD DEL CUADRADO

Dividimos el cuadrado en cuatro rectángulos iguales al trazar líneas paralelas por la mitad de dos lados opuestos y en sus puntos medios restantes. De la mitad del cuadrado, del rectángulo interior recortamos triángulos que recolocamos en su parte externa.


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Con idénticas teselas manipulables se puede utilizar como un juego mosaico para videntes e invidentes.

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martes 17 de noviembre de 2009

Mitad del cuadrado.Mosaico Nazarí

CON LA MITAD DEL CUADRADO SE FORMA UN MOSAICO NAZARÍ
1.-

Con cuatro trapecios se ha formado la tesela mitad del cuadrado. Al unir los centros de las teselas aparecerá la tesela base que será un trapecio y de área igual a la octava parte del cuadrado. Trazar líneas entre los centros de las teselas.¿Observa la tesela base que es un trapecio? Si no la observa y/o quiere verla, continúe en el archivo o entrada del 15 de Noviembre de 2009 de este blog.

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2.-Mosaico construido con la mitad del cuadrado,MOSAICO ROMBO.Mosaico de la Alhambra de Granada en el Patio de los Leones__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Se consiguen baldosas o teselas para mosaicos al dividir al cuadrado en dos partes iguales. También en cuatro, 8,.. , 2n partes. Con algunas tenemos que recurrir a giros y /o traslaciones para que se repitan los patrones y saber colocar cada tesela.
La octava parte de un cuadrado es una tesela y aplicando combinaciones de giros y traslaciones formamos patrones para bellos mosaicos.
En Internet hay páginas Web que contienen programas con applets (Java) que demuestra con movimientos la mitad del cuadrado.
La mitad del cuadrado es un triángulo de base y altura invariante y la altura se mueve por la línea de la base. Ver applets de J.Mora.Excelente explicación y mayor contenido en las páginas Web de
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domingo 15 de noviembre de 2009

La mitad del cuadrado.Clic en las dos 1as imágenes para aumentar de tamaño.

Dividir un cuadrado en dos partes iguales
Material: Papel y lapicero o bolígrafo, regla,.. La mayoría de las respuestas serán: se dibuja una diagonal o un eje de simetría del cuadrado...;se dibuja otro cuadrado inscrito de área la mitad del anterior;el triángulo de base un lado y el punto de la altura puede ser dinámico en el lado superior...















Como una imagen vale más que 1000 palabras, observe como se han dividido todos los cuadrados en dos partes iguales.
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Otras formas de construir la mitad de un cuadrado
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Un cuadrilátero y un paralelogramo pueden ser la mitad de un cuadrado
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Un trapecio puede ser mitad, la cuarta parte del cuadrado, la octava parte del cuadrado,... Todas pueden ser teselas de mosaicos.













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Aunque todos sabemos dividir un cuadrado en dos partes iguales, hay infinitas formas y muy diversas.
La mitad del cuadrado y la cuarta parte puede ser una tesela y pueden formar patrones si consideramos las simetrías y tenemos cuidado en su colocación. Son famosos los mosaicos nazaríes de la Alhambra.
Un estudio excelente sobre la mitad del cuadrado puede verlo en:http://jmora7.com
PARA ALUMNOS VIDENTES E INVIDENTES: CON UN GEOPLANO MANIPULABLE DE PLÁSTICO CON AGUJEROS,CHINCHETAS LARGAS Y GOMAS SE FORMAN TESELAS NAZARÍES Y SIMILARES A PARTIR DE UN CUADRADO. EL REINO DE LA ALHAMBRA ES TAMBIÉN Y PARA SIEMPRE EL REINO DEL CUADRADO .
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miércoles 11 de noviembre de 2009

Mosaicos Nazaríes de la Alhambra de Granada (Andalucía)

Para construir un mosaico nazarí se parte de un cuadrado, de un triángulo equilátero o de un rombo de dos triángulos equiláteros y se obtiene otro polígono de igual área al recortar una o varias regiones del interior y su recolocación en otra parte exterior del polígono. Ver las siguientes teselas llamadas: Hoja, avión, pajarita y hueso. La hoja procede del cuadrado, el avión también del cuadrado, la pajarita del triángulo equilátero y el hueso del cuadrado. ¡La familia Nazarí vivió en Granada!
En el cuadrado para formar la Hoja Nazarí he recortado del interior dos triángulos rectángulos y se recolocan en el exterior para mantener el área. Para el avión de forma análoga se recortan dos triángulos rectángulos del interior, ver triángulos de color amarillo, para recolocarlos en la parte exterior y se mantiene el área del cuadrado en otra figura. Espero que los colores sean atractivos y motivadores.














COMPARE ESTAS TESELAS CON LAS TESELAS DE LOS MOSAICOS DE LA ALHAMBRA.

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Referencia : http://www.personal.telefonica.terra.es/











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En la pajarita se recorta un pequeño sector para cada medio lado del triángulo equilátero y se recoloca en el exterior y en la tesela hueso se recortan dos trapecios del interior para colocarlos en el exterior.


DESDE UN CUADRADO HASTA EL -HUESO-NAZARÍ









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Con idénticas teselas formamos mosaico y se recubre el plano.












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Al unir los centros de un mosaico aparece otro mosaico denominado mosaico dual y también puede aparecer el mismo mosaico con otra tesela mínima.En el siguiente caso aparece de nuevo el mosaico hueso Nazarí y de tesela la cuarta parte del cuadrado que también es tesela del mosaico hueso Nazarí.¡Mira!












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Mosaicos semirregulares.Continuación de los ejercicios

MOSAICO CON 4 POLÍGONOS*

H. Sean cuatro polígonos regulares convexos que concurren en cualquier vértice de lados m, n, p, q enteros y que formen un mosaico. Demostrar que:
I. Sean cuatro polígonos regulares convexos que concurren en cualquier vértice de lados m, n, p, q enteros. Estudia si forman mosaico en el caso de que haya tres polígonos iguales.
J. Sean cuatro polígonos regulares convexos que concurren en cualquier vértice de lados m, n, p, q enteros. Estudia si forman mosaico en el caso de que haya dos polígonos iguales, m=n y los otros dos p=q.
K. Sean cuatro polígonos regulares convexos que concurren en cualquier vértice de lados m, n, p, q enteros. Estudia si forman mosaico en el caso de dos polígonos iguales, m=n y los otros dos desiguales p distinto de q.

MOSAICO CON 5 POLÍGONOS
L. Sean cinco polígonos regulares convexos que concurren en cualquier vértice de lados m, n, p, q, r enteros y que formen un mosaico. Demostrar que se verifica la ecuación
M.Con 5 polígonos que se forme un mosaico semirregular, éste debe tener como máximo 4 polígonos iguales y otro desigual. Estudiar éste caso de mosaicos semirregulares siendo

N.Encontrar las posibilidades de combinar los polígonos regulares y que se forme un mosaico semirregular. De los posibles ¿qué mosaicos son los que repiten los mismos polígonos en el mismo orden en todos los vértices?

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domingo 8 de noviembre de 2009

MOSAICOS SEMIRREGULARES

Están formados por polígonos regulares distintos. En un vértice deben confluir aquellos posibles que sus ángulos interiores sumen 360º.Los lados miden igual en todos los polígonos.
Si confluyen en todos los vértices los mismos polígonos y el mismo orden es semirregular uniforme.En el mosaico siguiente de la imagen en cualquier vértice confluye un triángulo, un cuadrado, un hexágono y otro cuadrado.


Ejercicios para el estudio de los posibles mosaicos semirregulares.

El número de polígonos regulares (diferentes entre ellos) que confluyen en un vértice debe ser mayor que 2 pues con 1 ó 2 polígonos regulares convexos no se puede formar mosaico semirregular.

También debe de tener menos de 6 polígonos pues con 7 triángulos equiláteros se superan los 360 grados sex. que deben sumar los ángulos interiores que concurren en un vértice.

C.Sean tres polígonos regulares convexos que concurren en cualquier vértice, de un mosaico semirregular, con número de lados m, n, p. Demostrar que se verifica la ecuación:


D. Si de los tres polígonos regulares que concurren en un vértice para formar un mosaico semirregular, hubiera 2 polígonos iguales estaríamos en el caso m=n, ó n=p, ó m=p. Estudiar estos posibles mosaicos semirregulares.

E. Estudiar el caso de mosaicos semirregulares si


F.Calcular la suma de los ángulos interiores que confluyen en un vértice del mosaico semirregular (3, 7, 42).

G.Estudiar el caso de mosaicos semirregulares, siendo

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sábado 7 de noviembre de 2009

Ejemplo de tesela del mosaico hueso Nazarí y pétalo Nazarí.Mosaico semirregular

En todos los mosaicos Nazaríes se conserva el área del polígono inicial. Observa la parte recortada del interior del cuadrado que se recoloca en la parte externa del mismo cuadrado.La tesela final conserva el área inicial del cuadrado.
De un cuadrado se recortan dos trapecios laterales del interior del cuadrado y se añaden a la parte superior e inferior. Se obtiene el hueso Nazarí de la Alhambra.
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EL MOSAICO SEMIRREGULAR (4,6,12)

En cualquier vértice confluye un cuadrado,un hexágono y un dodecágono.
La suma de los ángulos interiores de los polígonos que confluyen en cualquier vértice debe ser 360 grados sex.

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Hay que tener imaginación, ser minucioso en la exactitud, buscar la armonía y ser reiterativo. Así es el arte. Ejemplo de mosaico familiar sobre la trama hexagonal. -------------------------------
Tesela pétalo Nazarí

A dos triángulos equiláteros o a un rombo le recortamos de su parte inferior e interior dos sectores de los lados y se añaden a los lados superiores exteriormente. El sector o trozo que se recorta se añade a otro lado.También se formaría tesela recortando otra figura y añadiéndola en la parte correspondiente.
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En el mercado existen polígonos regulares de diferente número de lados de plástico y son manipulables y compatibles para videntes e invidentes.
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60.-Mosaicos.Mosaicos regulares.Tramas sencillas.

Introducción
La suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180 grados sexagesimales.
¡Mire la siguiente demostración visual!

El ángulo central de un polígono regular de n lados es 360/n
El ángulo completo es exactamente 360 grados sexagesimales.


El ángulo interior de un polígono regular de n lados es igual a
(El ángulo interior es el suplementario del ángulo central, pues al triangular con el centro de la circunferencia circunscrita a los vértices del polígono regular todos los triángulos son iguales e isósceles).

Se llama mosaico a todo recubrimiento del plano mediante piezas llamadas teselas que no pueden superponerse y sin huecos.

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Mosaicos regulares
Los más sencillos están formados por un único tipo de polígono regular, como el triángulo equilátero, el cuadrado o el hexágono regular.
En un vértice deben coincidir ángulos que, entre todos sumen un ángulo completo, es decir, 360 grados sex.


PROBLEMA PROPUESTO

Demostrar que sólo hay tres mosaicos regulares.*

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A. Mosaicos semirregulares.

Podemos formar mosaicos periódicos utilizando polígonos regulares de distintos tipos. En cada vértice deben concurrir polígonos regulares y la suma de los ángulos interiores de los polígonos que confluyen en cualquier vértice debe ser igual a 360º.
Es una notación frecuente indicar con números los polígonos por sus lados y el orden que concurren en los vértices.

Mosaico semirregular

B. De los 8 mosaicos semirregulares uniformes en todos sus vértices y escritos en notación anteriormente explicada, decir los polígonos que lo forman y calcular la suma de los ángulos interiores que concurren en cualquier vértice. 4,6,12; 4,8,8; 3,12,12; 3,6,3,6; 3,4,6,4; 3,3,3,3,6; 3,3,4,3,4; 3,3,3,4,4.

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Tramas sencillas

Cuadrada, isométrica, hexagonal. La misma trama forma mosaico.



LOS MOSAICOS ES UN JUEGO COMPATIBLE PARA INVIDENTES SI LAS TESELAS SON DISTINGUIBLES AL TACTO.EN EL MERCADO HAY MATERIAL DE GEOMETRÍA MANIPULABLE.

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Este capítulo continúa en la próxima entrada...

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viernes 6 de noviembre de 2009

Genios de la ciencia reunidos en 1911.CLIC EN FOTOGRAFÍA PARA ZOOM.- Albert EINSTEIN EN (3,5)

FILA SUPERIOR:
A. Piccard, E. Henriot, P. Ehrenfest, Ed. Herzen, Th. De Donder, E. Schrödinger, E. Verschaffelt, W. Pauli, W. Heisenberg, R.H. Fowler, L. Brillouin.
FILA INTERMEDIA
P. Debye, M. Knudsen, W.L. Bragg, H.A. Kramers, P.A.M. Dirac, A.H. Compton, L. de Broglie, M. Born, N. Bohr.
FILA INFERIOR
I. Langmuir, M. Planck, Madame Curie, H.A. Lorentz, A. Einstein, P. Langevin, Ch. E. Guye, C.T.R. Wilson, y O.W. Richardson.
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jueves 5 de noviembre de 2009

59.- Juego con fracciones egipcias.Pirámide de Keops.Clic en imagen para Zoom.

Expresar la fracción 11/16 en suma de fracciones egipcias

Una fracción egipcia es una fracción unitaria y cualquier fracción es suma de fracciones unitarias distintas, es decir, de fracciones de numerador 1 y cuyos denominadores sean enteros positivos distintos.
Se puede demostrar que cualquier
número racional positivo se puede escribir como suma de fracciones egipcias, es decir descomponer una fracción en fracciones unitarias. Para demostrar que se puede expresar cualquier número, incluso los que son muy grandes de esta forma, se puede desarrollar y se verá que cualquier fracción unitaria se puede expandir indefinidamente y llegar a una parte de la serie armónica.
Hay diferentes procedimientos para expresar una fracción propia en suma de fracciones egipcias:
1.- Calculamos y ordenamos todos los divisores de 16 que son: 1, 2, 4, 8 y 16. Se eligen los mayores divisores que sumen el numerador 11. En este caso el denominador es un número compuesto. 11= 8+2+1. Se opera así:
2.- Gráficamente.
Descomponer en fracciones egipcias 27/32.
Observando el rectángulo 4 x 8 y los divisores de 32, es evidente o trivial que 27 = 16 + 8 + 2 + 1
3.-Otro procedimiento de cálculo. Descomponer en fracciones egipcias 14/15

4.-Una fracción egipcia puede expandirse pues la fracción egipcia se descompone a su vez en otras dos fracciones unitarias.



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5.- Otro procedimiento, probablemente usado por los escribas egipcios:

2/7 = 1/7 +1/7= 1/14 + 1/14 + 1/7=

= 1/28 + 1/28 + 1/14 + 1/7 =
= 1/28 + {1/28 + 1/14 + 1/7} = 1/28 +1/4



Ejercicios propuestos
A.
Descomponer 2/19 y 2/27 en fracciones egipcias.
B. Descomponer en fracciones egipcias.



D. Descomponer en suma de fracciones egipcias, sin repetir términos, las siguientes fracciones:

E.Calcular en forma de una sola fracción la suma de las siguientes fracciones egipcias:

F.-Se reparten equitativamente 3 sacos de trigo entre 5 hermanos.¿Cuánto le corresponde a cada hermano? Resolverlo aplicando fracciones egipcias.

G. Reparto muy justo

Dos amigos, José y Juan, poseen 2 y 3 litros de cerveza-sin, respectivamente y la comparten con Manuel. Se beben entre los tres los 5 litros.
Hay tres vasos de 33cl., y cada uno se bebe 5 vasos de cerveza.Manuel les regala 10 euros. ¿Cómo deben repartirse las monedas?

La imagen con el permiso del autor de la web: http://www.trotamillas.es/

H. EL CAMELLO FANTASMA*

Ya es archiconocido el problema de los camellos en el reparto para tres hijos.Veamos diferentes enunciados que circulan por los libros de entretenimientoy juegos matemáticos.
1.-Tres hijos comparten una herencia de siete camellos. El mayor reclama la mitad del rebaño, el segundo exige uno de cada cuatro y el tercero la octava parte.

¿Recibirán cada uno su parte sin matar y desjarretar un camello.

Muhammad ibn Musa al-Khuarizmi (matemático del siglo IX de nuestra era, introdujo la matemática hindú en la astronomía árabe) y dejó escrito el siguiente:

2.-Un rico mercader poseía 17 camellos. El testamento para sus tres hijos decía que el mayor recibiera la mitad de la manada; que el segundo recibiera la tercera parte y el menor la novena parte.

¿Cómo cumplir con la voluntad del padre sin matar ningún camello?

3.-Otro mercader poseía 23 camellos. El testamento para los tres hijos decía: La mitad del rebaño para el mayor, la tercera parte para el segundo y la octava parte para el tercer hijo.

¿Cómo cumplir con la voluntad del padre?

4.-Encontrar todas las posibles soluciones con este truco para tres hijos.*

*Todas las soluciones están comentadas y resueltas en el libro"Juegos de matemáticas con soluciones" de Manuel García Ruiz

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miércoles 4 de noviembre de 2009

58.-Fórmula de Pick y Puzzles.Geoplanos

G.A.Pick estableció la relación que existe entre los nudos de una malla y el área de un polígono dibujado sobre ella
La única condición:
Los vértices de los polígonos convexos y cóncavos que se dibujen a continuación deberán estar situados en puntos de la trama. Ver geoplanos.

A.
a) ¿Cuál es el triángulo más pequeño que puedes dibujar en la siguiente trama cuadrada?

b) ¿Y el siguiente?
c) ¿Y el de área doble?
d) ¿Cuál es el cuadrado más pequeño que puedes dibujar en la trama? ¿Y el siguiente? Calcula el área de cada polígono dibujado.
e) Dibuja varios polígonos que no tengan puntos interiores. Calcula la relación entre puntos del borde y el área.

f) Dibuja varios polígonos que tengan un solo punto interior. Calcula la relación entre puntos del borde y área de cada polígono.
g) Dibuja varios polígonos que tengan dos puntos interiores. Calcula la relación entre puntos del borde, puntos del interior y área de cada polígono.

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G.A.Pick (matemático austriaco asesinado por los nazis en un campo de concentración) estableció la relación que existe entre los nudos de una malla y el área de un polígono dibujado sobre ella.

Sea P un polígono simple cuyos vértices son puntos de un retículo.
Supongamos que hay i puntos reticulares en el interior de P y b puntos reticulares en su frontera. Entonces como se ha demostrado, el área del polígono es:

Área de P = i + b/2 - 1

B. Calcular el área de las piezas del tangram chino aplicando la fórmula de Pick y constatarlo con las fórmulas clásicas.

C. Aplicando la fórmula de Pick, calcular el área de cada pieza del siguiente puzzle rectangular.

D. Puzzle cuadrado
Calcular el área de cada pieza, aplicando la fórmula de Pick, sumarlas y resultará la superficie total del puzzle =16 u.s.

E. Calcular el área de cada pieza del siguiente puzzle geométrico. Sumarlas y resultará la superficie total del puzzle 24 u.s.


F.-

Calcular el área de cada pieza del puzzle de Arquímedes-Stomachión aplicando la fórmula de Pick. La suma de superficies de las 14 piezas es igual a 144 unidades de superficie.

TODO ESTE JUEGO ES COMPATIBLE PARA INVIDENTES SI SE DISPONE DE UN GEOPLANO.

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martes 3 de noviembre de 2009

PUZZLE STOMACHION DE ARQUÍMEDES. Calcular el área de cada pieza. Clic en la imagen para ZOOM


Juego en español con propuestas y soluciones de figuras en:
http://divulgamat.ehu.es/weborriak/RecursosInternet/Juegos/Stomachion.asp

En inglés

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Áreas de polígonos.Área del cuadrado,rectángulo,triángulo,trapecio,rombo.Puzzle Stomachion de Arquímedes.


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(Nota: altura en castellano y español se escribe sin h pero en inglés es height y se escribe con h)


Área del rectángulo = Base · altura = B · h

Área del triángulo = (Base · altura)/2

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Área del paralelogramo = Base · altura =
= B · h
Coincide con el área de un rectángulo

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Área del trapecio
Dos trapecios forman un paralelogramo,por consiguiente se calcula el área del paralelogramo formado y se divide entre dos.

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EL ROMBO TIENE CUATRO LADOS IGUALES Y ES LA MITAD DE UN RECTÁNGULO DE LADOS LAS DIAGONALES DEL ROMBO


Ahora los Topógrafos o Ingenieros técnicos agrónomos calculan una superficie irregular cualquiera con ayuda del GPS y los procedimientos correspondientes. Hoy día se calcula el perímetro irregular de una costa con la ayuda de la aplicación fractal. La siguiente entrada corresponde al cálculo de áreas aplicando la fórmula de Pick. Al hablar de áreas de polígonos estamos calculando la superficie que contiene la figura.


Nota:Una figura puede ser cuadrado,triángulo,etc,... sin tener nada en su interior.


Calcular el área de cada pieza del Puzzle Stomachion de Arquímedes

Dibujarlo en papel cuadriculado, construirlo en cartulina o cartón;mejor en madera para cortar las piezas y jugar con él(desmontarlo y montarlo).

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sábado 31 de octubre de 2009

57.Bis.-Tangram chino y polígonos convexos*

CON MATERIAL MANIPULABLE DE PLÁSTICO, MADERA O CARTÓN ESTE JUEGO MATEMÁTICO ES COMPATIBLE DIDÁCTICAMENTE PARA INVIDENTES.
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En un cuadrado se dibujan las siete piezas como en la figura siguiente: Recorte en cartulina o en madera las siete piezas del Tangram chino y construya polígonos convexos.
Es obvio o evidente que la superficie de las siete piezas del tangram suman la superficie del cuadrado.
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Presentación de polígonos convexos
Construir cada polígono de los siguientes con las siete piezas del tangram chino.(Mi hijo Carlos lo hizo con 15 años).

Una solución con las siete piezas del tangram.

Las restantes soluciones en libro"Juegos de matemáticas con soluciones" de Manuel García Ruiz

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Ejercicio


Si el lado del cuadrado mayor del tangram chino es de x cm.,calcular el área y el perímetro(en función del lado x)
de cada una de las siete piezas del tangram .

Si este ejercicio u otro es difícil para usted puede ver las soluciones al final del libro.

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Collage-Polígonos.Un clic en la magen para ZOOM

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viernes 30 de octubre de 2009

Ángulos en el pentágono regular convexo y estrellado cóncavo.

Pentágono regular y estrella pentagonal

El número de oro en triángulos EFD,EFJ,ADB,...

ÁNGULO INTERIOR EN POLÍGONO REGULAR CONVEXO Y EN POLÍGONO REGULAR ESTRELLADO DE N LADOS


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Justificando medidas en el omnipoliedro.Justificando medidas de aristas aplicando la razón áurea.

LA ARISTA DEL CUBO EN EL OMNIPOLIEDRO ES LA DIAGONAL DE LOS PENTÁGONOS DEL DODECAEDRO.
CALCULAR LA RELACIÓN ENTRE DIAGONAL Y LADO DEL PENTÁGONO REGULAR.


Estaremos de acuerdo que los triángulos BAC y DCB son isósceles y también semejantes.
El triángulo ADC es isósceles pues AD = CD; AD = DC = BC = a; AC = b; DB = b -a .

Aplicando la proporcionalidad de figuras semejantes se tendrá:


Nota. Ver archivo del número de oro

Referencia: http://jmora7.com/miWeb2/index.htm

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martes 27 de octubre de 2009

57.-Sólidos platónicos. El omnipoliedro. El balón de futbol.

Los sólidos platónicos son:
El cubo o hexaedro, el tetraedro, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.
Las caras de estos poliedros regulares están formados por polígonos regulares iguales. El cubo tiene 6 cuadrados iguales, el tetraedro formado por 4 triángulos equiláteros(tres lados iguales) iguales, el dodecaedro tiene 12 pentágonos regulares iguales, el octaedro tiene 8 triángulos equiláteros iguales y el icosaedro tiene 20 triángulos equiláteros iguales.
CUBO




Se compone de cuatro triángulos equiláteros. La altura del tetraedro regular es un cateto de un triángulo rectángulo y el otro cateto es 2/3 de la altura de una cara y la hipotenusa es la arista; también es un cateto de un triángulo rectángulo cuyo otro cateto es 1/3 de la altura de una cara y la hipotenusa es la altura de la cara.
Ejercicios propuestos en el tetraedro:
Calcular la altura de una cara en función de la arista.

Calcular la altura, la superficie y el volumen del tetraedro en función de la arista.

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El Omnipoliedro


Es una composición realizada con los armazones de los cinco sólidos platónicos (octaedro, tetraedro, cubo, dodecaedro e icosaedro) de forma que cada uno de ellos está inscrito en el del siguiente. Los cuatro vértices del tetraedro (granate) coinciden con otros tantos del Cubo (azul). Hay 6 aristas en el tetraedro y son diagonales de las caras del cubo.


En el interior del tetraedro se encuentra el Octaedro amarillo, y sus vértices se sitúan en el centro de las aristas del Tetraedro.
Arista octaedro = La mitad de la arista del tetraedro.

El teorema de Pitágoras se aplica para calcular las medidas de las aristas del octaedro, el tetraedro y el cubo.
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Para las medidas de las aristas de los dos poliedros que van por el exterior, el dodecaedro y el icosaedro hay que aplicar la proporción áurea para su cálculo.Por último, el Icosaedro proporciona rigidez al Dodecaedro cuando las aristas de ambos se cortan en los puntos medios. Los centros de las caras de un icosaedro determinan un dodecaedro.

Arista icosaedro = lado cubo=L

-----OMNIPOLIEDRO-----


D. Pedro Puig Adam construyó un omnipoliedro en el Instituto San Isidro de Madrid.
El omnipoliedro de la foto se instaló en el año 2001 en el Parque Temático del Tossal de Alicante bajo la supervisión y dirección de D. José Antonio Mora.

En el Parque del Tossal (Alicante) hay un conjunto de 90 varillas construidas para que se pueda montar otro omnipoliedro de dos metros de diámetro.

Vea en Internet, en el programa Geogebra, la original construcción del Omnipoliedro en la página web : http://geometriadinamica.es/Geometria/Cuerpos

Todas las ilustraciones y diagramas de este libro están elaboradas por el autor. Vea los cinco cuerpos geométricos inscritos en forma sucesiva según Luca Pacioli (1445-1517), Profesor de Leonardo da Vinci(1452-1519).

A su vez, Luca Pacioli se inspiró en las obras de Arquímedes y de su Profesor Piero della Francesca (1420-1492). (Pacioli aparece en un cuadro de Piero y escribió un libro titulado ”La divina proporción” en el que da las medidas y datos de los poliedros con ilustraciones de Leonardo da Vinci).

En el siglo XX se han encontrado manuscritos de Piero della Francesca y de su dibujo del icosaedro truncado. Vea el siguiente proceso de dibujos del icosaedro, icosaedro truncado y el balón de fútbol.

Icosaedro truncado con pentágonos al cortar con planos por los vértices del Icosaedro. En la siguiente imagen el lado del pentágono es menor que el lado del icosaedro.

En el siguiente icosaedro truncado las aristas de los pentágonos son de igual longitud que las aristas de los hexágonos que a su vez miden la mitad de las aristas del Icosaedro original. Es el paradigma del balón de futbol. Ahora falta construirlo de cuero, colocar un globo en su interior, inflarlo de aire y a jugar.

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En la siguiente entrada continuará la justificación de las medidas. El lado del cuadrado es diagonal en los pentágonos del dodecaedro en el omnipoliedro.

Referencia: http://jmora7.com/miWeb2/index.htm

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El OMNIPOLIEDRO. Un clic en las imágenes para ZOOM



Fotografía del Omnipoliedro construido en el monte Tossal de Alicante.
Con el permiso de J.Mora
Vea en Internet, en el programa Geogebra, la original construcción del Omnipoliedro paso a paso en la página web :
......................

lunes 26 de octubre de 2009

TRI-SUDOKU. Clic en imagen para zoom





SUDOKU y TRI-SUDOKU.Capítulo 56

A.- Resolver los siguientes Rompecabezas
Sudoku 6x6.
Es necesario que cada columna, fila y cada caja de 2x3 contenga los números del 1 al 6.
Todos se pueden resolver utilizando la lógica.
A1.-



A2.-

B.-Nivel sencillo de 9X9.Resolver los siguientes Sudoku 9x9.
Es necesario que cada columna, fila y cada caja de 3x3 contenga los números del 1 al 9.
B1.-
B2.-

C.TRI-Sudoku*
Está formado por 3 Sudokus de 9x9, normales entrelazados.
La solución de cada uno de los Sudokus depende directamente del adjunto, al tener una región de 3x3 en común.
Resolver el siguiente tri-sudoku
Cada sudoku comparte una caja de nueve números con el sudoku intersección.

*Todas las soluciones en el libro

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RELOJES.-Capítulo 55

55.1.-He estado en la casa de campo y se me olvidó el reloj, estaba sin teléfono, sin tele, sin radio, sin ordenador pero tenía un reloj de pared muy exacto de cuerda.




Cuando esto ocurría, ponía el reloj a una hora que estimaba; iba paseando a casa de un amigo, pasaba la tarde con él y al volver a casa ponía el reloj en la hora exacta.

¿Qué método he utilizado?
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55.2.- ¿Cómo cronometro exactamente 9 minutos, si sólo se dispone de dos relojes de arena, uno de 4 minutos y otro de 7 minutos?
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55.3.- Proporcionalidad inversa con el tiempo en un Concurso de la Tele.

María, Teresa y Juan participan en un concurso de la tele y responden a preguntas sencillas.
Se reparten 3000 euros proporcionalmente al tiempo invertido. Es obvio que se lleva mayor cantidad quien tarda menos tiempo. María realiza la batería tipo test en 80 segundos, Teresa en 50 segundos y Juan en 90 segundos.

¿Cuántos euros gana cada uno?



Pista para resolver el cálculo de los euros que gana cada uno en el concurso de tv.

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55.4 Abastecimiento de agua
Una finca de regadío llena un depósito con un grifo de buen caudal en 10 horas. El dueño realiza otra perforación (otro pozo con agua y tiene suerte de otro buen caudal) y los dos grifos llenan el depósito en 6 horas.


¿Cuánto tardará sólo el segundo grifo en llenar el depósito?

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55.5 Velocidad media
Cuando fuimos a Jaén, el viaje de ida se hizo a una velocidad media de 120 km/h. y el viaje de vuelta, a 80 km/h. El recorrido de ida y el de vuelta son iguales.

¿Qué velocidad media ha resultado en el total del viaje completo?

(¡ Ojo ! Que no es 100km/h)

Imagen con el permiso de la autora : http://bosquecolorin.blogspot.com/

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sábado 24 de octubre de 2009

Los números del ISBN.Capítulo 54

Los libros que se publican se codifican mediante los números del ISBN.

El primer grupo de dígitos indica el país (o el idioma). En España es el 84. El segundo grupo de dígitos designa la editorial. El tercer grupo es un número asignado al libro por la editorial.

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El último carácter, el décimo, es un factor de comprobación y se denomina dígito de control.

Aplicamos el producto escalar, el décimo dígito verifica la relación:

1· 8 + 4 · 2 + 0 · 3 + 7 · 4 + 9 · 5 + 7 · 6 + 9 · 7 + 7 · 8 + 9 · 9 = 231

y dividimos 231 entre 11 y calculamos el resto de esta división. R = 0 = dígito de control.
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¿Calcular el número N que falta en el ISBN siguiente:84-011-N 502 - 7?

Nota. Si el resto de la división entre 11 hubiera sido 10, entonces colocaríamos una X como dígito de control.
Los posibles dígitos de control (restos al dividir entre 11) son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, X (10)

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La letra del DNI en España.Capítulo 53

La letra del Documento Nacional de Identidad (D.N.I.) en España, se obtiene dividiendo el número completo de nuestro DNI entre 23 y al resto de dicha división, que deberá estar comprendido entre 0 y 22 se le asigna la letra según la siguiente tabla:
El Número de un D.N.I. es el 23.546.545, ¿Qué letra le corresponde?
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¿Sabrías calcular la letra de tu D.N.I.?
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*[D/23] quiere decir la parte entera de la división entre el Dividendo y el divisor 23.Es el cociente sin decimales, es decir, la parte entera del cociente.
----
RESTO = Número D.N.I. - 23 · [Número DNI/23]
ó también
RESTO = D - 23 · [Cociente]
------
Nota para personas con poca destreza en operaciones matemáticas:
El producto tiene prioridad de operación sobre la resta y la suma.
En las igualdades anteriores hay que realizar la multiplicación antes que la resta a pesar de que ésta esté escrita anteriormente.
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NÚMEROS EN UN TRIÁNGULO. CAPÍTULO 52

Dibuja un triángulo y coloca un número en el centro y otro número en cada vértice. Coloca en el centro de cada lado la suma del número del centro con el del vértice opuesto.
Suma el número del centro de cada lado con los dos de los vértices adyacentes.
¿Es una casualidad que sumen lo mismo?

2 + 12 + 9 = 23
2 + 14 + 7 = 23

9 + 7 + 7 = 23

Investiga con otros triángulos y realiza el mismo procedimiento.

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Números felices.Capítulo 51

Ejemplo: 44 es un número feliz porque se reduce a la unidad con el siguiente procedimiento, así:


Comprobar que son felices los 4 siguientes números:

10, 68, 383, 2008

En la siguiente ilustración hay 7 números y se propone buscar los intrusos que no son felices.


Investiga sobre números felices. ¿El número de tu teléfono es un número feliz?

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Juego del cerco de monedas.Capítulo 50.

Con monedas de igual tamaño, ¿cuántas monedas se necesitan para rodear completamente una moneda, tocándose tangencialmente entre sí?

¿Cuántas monedas se necesitan para rodear de manera análoga al cerco anterior?
¿Cuántas monedas se necesitan para rodear de manera análoga al tercer cerco?
¿Cuántas monedas se necesitan para cercar si hay “ n” cercos?

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Juego y material compatible didácticamente para alumnos invidentes.

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viernes 23 de octubre de 2009

Juego de las 8 reinas.Capítulo 49

¿Se pueden colocar 8 reinas en un tablero de ajedrez de forma que ninguna pueda amenazar a otra?

Si resulta difícil el tablero 8 X 8 con 8 reinas, simplificamos el problema y lo exponemos más fácil:
Colocar 4 reinas en este tablero de 4x4 sin amenazarse. Las reinas amenazan en línea horizontal, vertical y en diagonal.


Las cuatro reinas no se pueden amenazar. Tenemos 4 filas y cuatro columnas.
Una solución puede denotarse por el vector (3, 1, 4, 2) y significará que:
la reina 1 está en la columna 3, (1,3);la reina 2 está en la columna 1, (2,1);
la reina 3 está en la columna 4, (3,4); la reina 4 está en la columna 2, (4,2).
Las cuatro reinas están en las posiciones: (1,3), (2,1), (3,4), (4,2).
Si numeramos las filas de arriba hacia abajo decimos que en la fila 1 intersección columna 3 está la primera reina. Abreviadamente: (1,3).
Si giramos 90º el tablero sin mover las reinas aparece la misma solución.
Si colocamos un espejo en un lado del tablero 4x4 aparece su simétrico especular y el orden de las componentes es al contrario o la misma pero ordenadas de derecha a izquierda.
2ª Solución: (2, 4, 1, 3). Al girar el tablero 90º aparece la misma solución.
Sólo hay dos soluciones diferentes: (3, 1, 4, 2) y (2, 4, 1, 3) puesto que necesitamos mover las reinas. Observe que al sumar las dos soluciones como si fueran vectores da el vector (5, 5, 5, 5). En publicaciones sobre este juego algunos dicen que sólo hay una solución fundamental.
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Buscar una solución para el tablero 8x8 y codificar las cuatro soluciones al girar el tablero y sus simétricas especulares.
Para jugar a colocar las ocho reinas sin atacarse, on-line, y que corrige los errores puede ir a:
http://tablajatekos.hu/uj2001/2003/flash/8reinas.swf

Si usted quiere estudiar o estudia Ingeniería Informática le puede interesar las siguientes webs:
http://www.programacion.com/codigo/17/
http://cabrillo.lsi.uned.es:8080/aepia/Uploads/19/33.pdf

Mira a continuación dos soluciones del "juego de los ocho reinas" para el tablero de ajedrez sin amenazarse entre ellas.

La siguiente solución gráfica se puede codificar con una 8-upla (3,6,2,7,1,4,8,5)


La siguiente solución gráfica se codifica así: (1,6,8,3,7,4,2,5)

Cuando se tiene una solución se gira el tablero 90 grados sin mover las reinas.
4 más las simétricas especulares hacen un total de 8 soluciones.
Hay más soluciones. En total hay 12 soluciones fundamentales.

12x8=96 soluciones.

Hay 4 que se repiten de una misma solución fundamental.

Vea las 92 soluciones en mi libro"Juegos de matemáticas con soluciones" . Observará que una solución fundamental tiene 4 repetidas( al girar el tablero + las especulares).
Total de soluciones = 92


A continuación se omite el desarrollo de los cuatro apartados siguientes que analizo con detalle en mi libro.

1.-Codificar numéricamente las 4 soluciones gráficas siguientes :

2.- A continuación se presentan 8 soluciones codificadas.

3.- Investigar

4.- Investiga para constatar. Si ha encontrado las 92 soluciones, ahora presento otra cuestión.

Método didáctico para encontrar las 92 soluciones en el juego de las ocho reinas.

5. ¿ Ha encontrado las 92 soluciones? (eliminando 4 que se repiten en las simetrías de una misma solución fundamental; vea las soluciones en Internet o en mi libro que incluye las soluciones de los juegos), aplicando simetrías especulares y giros del tablero, ordenadas de menor a mayor como números en nuestro sistema decimal.


“El lenguaje informático Prolog es útil en la gestión de Juegos.
También es útil en Inteligencia Artificial y Sistemas Expertos, como lenguaje especialmente pensado para construir bases de conocimientos basados en la lógica.
También es útil en la
construcción de Compiladores e Intérpretes, en el Reconocimiento del Lenguaje Natural, etc.”
www.uhu.es/nieves.pavon/pprogramacion/temario/
En la Web anterior se puede ver un programa del juego de las n reinas en lenguaje Prolog.
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El tablero de 4x4, 5x5, etc. y fichas que representan damas es manipulable por invidentes y por tanto este juego es didácticamente compatible para ellos.
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48.-Juego del salto de la Rana


Se necesitan fichas de dos colores o distinguibles al tacto, por ejemplo blancas y negras o de diferente forma, circulares y cuadradas.Sobre una fila de 2n +1 cuadrículas, se colocan n fichas blancas a la izquierda y n negras a la derecha o al contrario y en el centro un espacio libre.
El objetivo es intercambiar las fichas blancas por las negras o las circulares por las cuadradas en el menor número de movimientos con las siguientes reglas:

1.-Una ficha se puede desplazar a una casilla vacía.

2.-Se puede saltar sobre una ficha si la casilla siguiente o contigua está vacía y no se eliminan fichas en ningún caso. La imagen adjunta representa la situación inicial para 4, 6 y 8 fichas en total.

Si n=5 fichas (10 fichas en total) se necesitan 35 movimientos.
Si n=8 fichas se necesitan 80 movimientos. Si n=20, se necesitarán al menos 20 · 22= 440 movimientos.
Para 2n fichas, ¿calcular el menor número de movimientos para el intercambio de fichas?
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Juego y material didácticamente compatible para invidentes.
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47.-Juego de las torres de Hanoi*

Se tienen tres varillas y cuatro discos de diferente tamaño apilados de mayor a menor tamaño en una varilla. Los discos están agujereados para poder insertarlos en las varillas.
El objetivo de este juego es insertar los discos en otra varilla determinada en el mismo orden y en el menor número de movimientos. Sólo 2 reglas o condiciones:
1. Sólo se puede trasladar un disco en cada movimiento y a otra varilla.
2. Un disco no puede estar en ningún momento sobre discos o disco de menor tamaño. ¿Cuántos movimientos M se necesitan para 4 discos?
¿Cuántos movimientos M se necesitan para n discos?

Calcular M(n).
Direcciones de Internet para ampliar el estudio de este juego:
www.epsilones.com/paginas
http://mictlan.utm.mx/~thot/hanoi.php
http://delta.cs.cinvestav.mx/~adiaz/anadis/Analisis.pdf
http://www.uterra.com/juegos/torre_hanoi.htm
http://www.acropolix.com/Juegos/Hanoi/jue_hanoi.htm
Las dos últimas páginas webs presentan applets para jugar on-line al juego de las torres de Hanoi. Para un estudio a nivel medio puede ir a:
http://www.geocities.com/jvrrz/hanoibin.htm
http://www.cut-the-knot.org/recurrence/hanoi.shtml

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46.-El carcelero, los prisioneros y los sombreros


Había una cárcel con 10 prisioneros y el carcelero aficionado a las recreaciones matemáticas les dijo:
Mañana se van a colocar en fila india de menor a mayor talla y les voy a colocar un sombrero (blanco o negro) a cada uno, desde el número 10 hasta el primero, de forma que no sepan el color del sombrero que tiene cada uno.
Sólo podéis saber el color de los que están delante pero no podéis decirlo ni dar señales.
A cada prisionero desde el 10 hasta el primero y en orden descendente, le preguntaré de qué color es el suyo y sólo responderá “blanco o negro”.
Si acierta su color le dejaré en libertad y si no acierta seguirá en la cárcel.
Al que diga otra palabra que no sea "blanco" o "negro", irá a la cárcel de nuevo y también por diferentes entonaciones ni nada parecido.
Un prisionero ha encontrado una estrategia para que puedan ganar la libertad el mayor número posible de prisioneros sin gestos ni entonaciones.
Encontrar la estrategia para salvar a los prisioneros. Realize una simulación con un número menor de prisioneros.
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45.- LA PALABRA “CABALÁ” EN HEBREO ES 137.* Juego del NIM

1/137 es la proporción aproximada entre la velocidad del electrón y la velocidad de la luz.
La velocidad de la luz en el vacío es c = 299.792.458 m/s. ó aproximadamente 300.000km/s. En cualquier otro medio, depende del
índice de refracción del mismo. En ciertos experimentos se ha llegado a una velocidad 300 veces superior. La luz se transmite un 30% más despacio a través de la fibra óptica usada en algunos sistemas de telecomunicación.

Referencias: www.es.wikipedia.org/wiki/Velocidad_de_la_luz


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Divide sin hacer uso de la calculadora

A. Calcular el cociente y el periodo al dividir 1/137
B. Escribe 137 en base dos.


“Todos los hombres tienen naturalmente el deseo de saber. El placer que nos causan las percepciones de nuestros sentidos son una prueba de esta verdad. Nos agradan por sí mismas, independientemente de su utilidad, sobre todo las de la vista ” Metafísica de Aristóteles· libro primero · Α · 980a-993a
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JUEGO DEL NIM*
Juego para dos jugadores. Se coloca un número arbitrario de fichas,(palillos,…) separadas por filas. El número de fichas o de filas es arbitrario.

Condiciones:
El primer jugador retira un mínimo de una ficha o el total de una misma fila. No se pueden retirar fichas de dos o más filas.
El segundo jugador juega de modo similar,
Los jugadores se alternan en el juego de retirar fichas.
Gana quién se lleve la última o últimas fichas de la última fila.
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a) Ejemplo de 5 filas.
1, 2, 3, 4, 5 fichas respectivamente.

Ejemplo - JUEGO DEL NIM
Buscar la estrategia ganadora en este juego del Nim para el primer jugador.

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b) Situación 1-3-5
La fila 1 tiene 1 ficha; la fila 2 tiene 3 fichas; la fila 3 tiene
5 fichas.
Buscar la estrategia ganadora para el primer jugador.

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c) Situación inicial 2-3-4.
La fila 1 tiene 2 ficha; la fila 2 tiene 3 fichas; la fila 3
tiene 4 fichas.
Buscar la estrategia ganadora para el primer jugador.

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d) Situación 1-2-3.
La fila 1 tiene 1 ficha; la fila 2 tiene 2 fichas;
La fila 3 tiene 3 fichas.
Buscar la estrategia ganadora para el primer jugador.

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e) Situación inicial. La fila 1 tiene 1 ficha; la fila 2 tiene 3 fichas; la fila 3 tiene 7 fichas. Buscar la estrategia ganadora para el primer jugador.

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jueves 22 de octubre de 2009

44.-JUEGOS DE LÓGICA ¿son fáciles?

44.1.-Una serie de números
1
11
21
1211
111221
312211
……….
Continuar la serie.
(Enigma de Bernard Werber de la novela “El día de las hormigas”.

44.2.- Una bacteria se duplica cada minuto,
al segundo minuto hay 4 bacterias, en el tercer minuto hay 8,…, 16, 32,…Un recipiente se completa al cabo de 1 hora. ¿Cuánto tiempo se tardará en llenar de bacterias el recipiente si empezamos con 8 bacterias?

44.3.-Juan se encuentra en un río y necesita medir un litro de agua,
pero sólo dispone de dos garrafas no graduadas de 3 y 5 litros. ¿Puedes ayudarle?

44.4.- Un hombre vive en un piso de la planta 27 de un rascacielos.
Por la mañana, toma el ascensor y llega hasta la planta baja y se marcha al trabajo. Cuando regresa pulsa el botón 26, baja en la planta 26 y sube por la escalera hasta el piso 27 para entrar en su casa. ¿Por qué se detiene en el 26º cuando sube?

44.5.- Pirámide de números cuadrados.
En la siguiente pirámide, coloca los números del 0 al 9 de forma que en cada fila aparezcan números cuadrados perfectos.

­­­­­­­­­­­­­­­­ 44.6.-Antinomia en el Quijote

Con el permiso del autor del blog: http://pinturasdesanti.blogspot.com

"Señor, un caudaloso río dividía dos términos de un mismo señorío, y esté vuestra merced atento, porque el caso es de importancia y algo dificultoso. Digo, pues, que sobre este río estaba un puente, y al cabo de él una horca y una como casa de audiencia, en la cual de ordinario había cuatro jueces que aplicaban la ley que puso el dueño del río, del puente y del señorío, que era en esta forma: "Si alguno pasare por este puente de una parte a otra, ha de jurar primero adónde y a qué va; y si jurare verdad, déjenle pasar, y si dijere mentira, muera por ello ahorcado en la horca que allí se muestra, sin remisión alguna." Sabida esta ley y la rigurosa condición de ella, pasaban muchos, y luego en lo que juraban se echaba de ver que decían verdad y los jueces los dejaban pasar libremente. Sucedió, pues, que tomando juramento a un hombre juró y dijo que por el juramento que hacía, que iba a morir en aquella horca que ahí estaba, y no a otra cosa. Repararon los jueces en el juramento y dijeron: "Si a este hombre le dejamos pasar libremente, mintió en su juramento, y conforme a la ley debe morir; y si le ahorcamos, él juró que iba a morir en aquella horca, y, habiendo jurado verdad, por la misma ley debe ser libre". Pídese a vuestra merced, señor gobernador, qué harán los jueces de tal hombre, que aún hasta ahora están dudosos y suspensos, y, habiendo tenido noticia del agudo y elevado entendimiento de vuestra merced, me enviaron a mí a que suplicase a vuestra merced de su parte diese su parecer en tan intricado y dudoso caso”. ¿Qué harías si tú fueras el gobernador?

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41.- La rana en el pozo

Buscando agua, una rana cayó en un pozo de 10 m de profundidad.
En su intento de salir, la obstinada rana conseguía subir 2 metros cada día, pero por la noche resbalaba y bajaba un metro. ¿Podrías decir cuántos días tardó la rana en salir del pozo?

42.-El caracol
Un caracol pretende salir del fondo de un
pozo de 15 metros de profundidad. Durante
el día, el caracol sube 3 metros, pero durante
la noche resbala 2 metros.
A la mañana siguiente continua su ascenso
desde el lugar donde despierta.
¿Cuántos días tarda en salir del pozo?

43.-Gallinas y conejos sin ecuaciones

En un corral se han contado 18 animales entre gallinas y conejos y un total de 50 patas. ¿Podría calcular sin ecuaciones las gallinas y conejos que hay?
Resolverlo con aritmética y sin álgebra.

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Ejercicios que no necesitan papel y lápiz.Es un buen ejercicio de cálculo mental.Compatible para invidentes.

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miércoles 21 de octubre de 2009

40.-Un problema de balanza sin pesas

Una bolsa contiene 26 bolas que parecen idénticas. Sin embargo, nos han asegurado que hay una defectuosa que pesa más que las otras.Disponemos de una balanza, pero no de un juego de pesas, de manera que lo único que podemos hacer es comparar pesos.
Demuestra que se puede localizar la bola defectuosa sólo con tres pesadas.


En el dibujo de esta imagen hay 27 bolas y una bola pesa más. También se puede localizar en tres pesadas.

39.-En el restaurante. Acertijo.

Tres amigas en el restaurante se toman un buen aperitivo. Al terminar piden el precio de la consumición; el camarero les dice que son 25 euros.Cada una de las amigas pone 10 euros para reunir una cantidad de 30 euros.
El camarero les da 5 euros que sobran; cada amiga recibe 1euro; los otros 2 que sobran deciden darlos al bote. Al salir, dice una que piensa así: las tres hemos pagado 27 euros y los 2 euros del bote suman 29 euros. ¿Dónde está el euro que falta?
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38.-EL NÚMERO MÁGICO 153

En el evangelio, según San Juan, (cap. 21, versículo 11), se lee que:
«Los discípulos no habiendo pescado nada durante la noche se disponían a abandonar la tarea, cuando siguiendo el consejo de Jesús, echaron de nuevo la red, la cual cuando Simón Pedro, la levantó y la trajo a tierra, estaba llena de grandes peces en número 153 y siendo tantos, la red no se rompió».

Buscar propiedades matemáticas del número 153
Imagen con permiso de la autora del blog:

37.- El tesoro en uno de los dos cofres

Es frecuente ver en muchos juegos recreativos de matemáticas el siguiente juego de lógica. A todos les falta un detalle en el enunciado que explico entre comillas y en las soluciones.(“ Los carceleros se tienen que conocer”. Es una condición necesaria que se omite en los enunciados de los libros que he visto. Además está de acuerdo mi vecino Juan que es Ingeniero y la idea de que tienen que conocerse es suya).

A.
El prisionero y los dos guardianes
Se le concede a un prisionero la posibilidad de ser libre. El prisionero se encuentra en una celda con dos guardianes, uno que dice siempre la verdad y otro que siempre miente. La celda tiene dos puertas: la de la libertad y la cárcel nuevamente. La puerta que elija el prisionero para salir de la celda decidirá su suerte. El prisionero tiene derecho de hacer una pregunta y sólo una a uno de los guardianes para averiguar qué puerta da la libertad.
El prisionero no sabe cuál es el que dice la verdad y cuál es el que miente. ¿Puede el prisionero obtener la libertad de forma segura?
B.
Dos cofres y un solo tesoro
Si trasladamos la idea a un tesoro que está en un cofre de dos posibles cofres con las mismas condiciones del problema anterior, ¿Cuál debe ser la pregunta? (Sólo podemos realizar una pregunta).

C. Dos cajas y una moneda de 2 euros en una de ellas
Tenemos dos cajas con apertura (que se abren y cierran). Sólo en una de ellas hay una moneda.
” Dos personas se conocen y saben dónde está la moneda”; sabemos que una siempre miente y la otra siempre dice la verdad sin saber quién miente y quién dice la verdad. ¿Cuál debe ser la única pregunta a una de ellas para conocer dónde se encuentra la caja con la moneda?
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36.-Paso del río

Problema-recreativo-famoso.
Un pastor debe cruzar un río, con una cabra, un lobo medio domesticado y un cesto de coles a bordo de una barca muy pequeña. Para no tener problemas decide llevar en cada viaje un solo acompañante. Si deja a la cabra con las coles, ella se las comerá casi seguro y si se lleva el cesto con las coles, el lobo intentará agredir a la cabra.
¿Cómo cruzará el río tranquilamente?

35.- ¿Dónde está el error ?*


La diagonal de un cuadrado de lado 1 metro, mide la raíz cuadrada de 2 metros. Es fácil, aplicando el teorema de Pitágoras.
Desde el punto medio de la diagonal se trazan paralelas a los lados. Se obtiene una línea quebrada de longitud total igual a 2 metros.

Desde los puntos medios de los nuevos puntos medios trazamos nuevas paralelas, formándose una nueva línea quebrada cuya longitud será siempre 2 metros. Estas líneas quebradas se confundirán con la diagonal en el límite, cuya longitud es la raíz cuadrada de 2 metros. Por tanto 2 es igual a la raíz cuadrada de 2.
*La imagen del autor tiene la firma MGR . Esta imagen también es del autor. Si alguna imagen es de otro autor se dirá sin excepción la referencia.

martes 20 de octubre de 2009

33.- ¡Las matemáticas son exactas! ¿Dónde está el error?

34.- ¿Es posible demostrar que 7 = 8?
Presentación sin palabras

En algún paso debe existir un error.

¿Pero dónde?

Explicar cada paso.

Otra demostración para comentar el error



30.- ¿Cuál es la última cifra del número 7^10000?

7^10000
Es la expresión de una potencia de base 7 y exponente 10000
Pista. Observar el ciclo de las unidades de las potencias sucesivas de 7


31. El juego del 21 y del 27

A. De un montón de 21 cartas se pide a alguien que de forma secreta elija una.
Es decir, elige una carta sin decir qué carta es.
Luego tomamos las 21 cartas y haciendo tres montones, disponemos las cartas boca arriba tres veces en tres montones y preguntando en cada ocasión el montón donde se encuentra la elegida; realizado este procedimiento, sin más, el mago acaba encontrando la carta secreta.

B. Se coge un montón de 27 cartas y se pide a alguien que de forma secreta elija una. Es decir, elige una carta sin decir qué carta es.
Luego tomamos las 27 cartas y haciendo tres montones, colocamos las cartas hacia arriba tres veces en tres montones y preguntando en cada ocasión el montón donde se encuentra la elegida; sin más, el mago acaba encontrando la carta secreta.


32.-Números en las casas

En una nueva calle hay cien casas.
El ayuntamiento llama a un encargado para que ponga número a todas las casas del uno al cien; éste tendrá que comprar los números para hacer su trabajo.
Sin un papel y un lápiz, ¿sabes calcular mentalmente cuántos ochos se necesitarán?

lunes 19 de octubre de 2009

29.-Adivinación de números por el mago

A. Magia con tarjetas
Un mago tiene 4 tarjetas de 8 números en cada tarjeta.
El mago está de espaldas y no ve los
números de las tarjetas.
Le pregunta a un espectador que
observe un número sin decirlo y le
diga en qué tarjetas se encuentra;
a continuación el mago adivina el
número elegido en secreto.
¿Cómo se explica la magia?
B. Magia con cartas
¿Cómo conseguir colocar 27 cartas de la baraja española en un determinado orden?

28.- Dos mujeres celosas

Dos parejas de casados necesitan cruzar un río pero la barca sólo puede transportar a dos personas a la vez.
Ninguna mujer quiere que su hombre esté a solas con la otra mujer.
¿Les podemos ayudar para organizar el viaje?

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Ver todos los archivos de este blog en : http://juegos-de-mates-manuel.blogspot.com

Blog con juegos extraidos de mi libro completo:"Juegos de matemáticas con soluciones"

27.-Transporte de agua por el desierto

Un beduino quiere transportar con su camello 100 bidones llenos de agua desde una población en el desierto a otra que se encuentra a 100 km.
El camello puede andar indefinidamente descargado,o de cargar un solo bidón y en tal caso cada vez que finaliza 100 km. necesita beber una cantidad de agua igual a la que ha transportado. ¿Cuántos podrá llevar?

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domingo 18 de octubre de 2009

26.-Puzzle Stomachión


Se atribuye a Arquímedes. Consta de 14 piezas. El puzzle en cuadrícula nos sirve para construirlo y calcular el área de cada pieza.
Se puede aplicar la fórmula de Pick o las clásicas de geometría para calcular el área de cada pieza.
Con las piezas de este puzzle se pueden formar figuras geométricas planas*: Rombo, trapecio, hexágono,…

También se pueden formar figuras artísticas.*
*EL ASTERISCO QUIERE DECIR NIVEL SUPERIOR. SE INDICA EN EL PRÓLOGO DEL LIBRO.

PEDIDOS DEL LIBRO CON TODAS LAS SOLUCIONES EN PDF(4 Euros) Ó EN PAPEL IMPRESO (25 euros)

Pedidos de mi libro "Juegos de Matemáticas con soluciones".
(Reserva el libro en edición limitada por 25 euros. 288páginas.Última revisión) y todo el libro en formato PDF por 4 euros.
LOS ARCHIVOS DE ESTE BLOG SON UN ESCAPARATE DEL LIBRO.

C. Cristal. Con las 7 piezas del cubo soma

C.- Cristal. Con las 7 piezas del cubo soma construir la siguiente figura.

En Internet puede ver todos los pentacubos, hexacubos (hay 166 en total) y construcciones con sus soluciones . Bruno Gilleta tiene varias páginas sobre pentacubos con animaciones en Java.

VER SOLUCIÓN EN EL LIBRO.PÍDALO EN PDF(4 EUROS)

sábado 17 de octubre de 2009

Trama isométrica

En la trama siguiente pueden dibujarse policubos

B. Dibujando pentacubos.

En total hay 29 pentacubos diferentes. Construyo a continuación pentacubos. Construir los restantes pentacubos.En páginas de Internet puede ver todos los pentacubos, hexacubos,…en:
http://www.geocities.com/alclerke0./PPF/Polycubes.html

En la citada página WEB puede ver los hexacubos (hay 166 en total) y construcciones con sus soluciones (mais elle est en français). Bruno Gilleta tiene varias páginas sobre pentacubos con animaciones en Java.
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viernes 16 de octubre de 2009

Puzzle 5x4x3 = 60 cubos con los 12 pentacubos planos.Otro puzzle 3D

Si tiene construidos los 12 pentacubos en dos dimensiones similares a los pentaminós puede construir el siguiente puzzle. También si varias personas se reunen en grupo para realizar alguno de estos puzzles no habrá tiempo para aburrirse. El puzzle de la imagen de 3x4x5 = 60 tiene 3.940 soluciones y solamente tiene pentacubos de dos dimensiones.
Puzzle tridimensional resuelto y sólo tiene pentacubos de dos dimensiones.

Caja u ortoedro de 5x4x3 = 60 cubos y construida con los 12 pentacubos. La caja con los 12 pentacubos 2D tiene 3940 soluciones.Substituting a 3D cube for each 2D square in polyominoes results in "solid polyominoes" or "planar polycubes". Para más información y más puzzles vaya a Internet: 3×4×5 Solid Pentominoes (3940 solutions).

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A. Con las piezas del cubo Soma construir la siguiente figura

VER SOLUCIÓN EN EL LIBRO

miércoles 14 de octubre de 2009

25.-Policubos. Rompecabezas 3D.Juegos de matemáticas

Juegos de matemáticas con policubos
Los 8 tetracubos
En realidad los cubos son de tres dimensiones pero hay policubos que pueden cubrir una figura llana o plana.
Los cinco primeros de los 8 tetracubos siguientes se dice que son de dos dimensiones.
Son similares a los tetraminós.

Por esta razón se dice que hay tetracubos de dos dimensiones y tetracubos de tres dimensiones.

Los pentaminós construidos con cubos también se dice que son de dos dimensiones si son similares a los pentaminós y están construidos y dibujados por el autor en la página anterior.
PUZZLES TRIDIMENSIONALES
Imagen de Caja u ortoedro de 4x4x2=32 cubos y construida con los 8 tetracubos.
La imagen siguiente es una solución gráfica del puzzle pero hay un total de 1390 soluciones posibles.
En Internet se pueden encontrar todas las soluciones codificadas.

PUZZLE RESUELTO GRÁFICAMENTE CON LOS 8 TETRACUBOS


----------------------Continúa en siguiente entrada

martes 13 de octubre de 2009

E. Pentacubos

Hay muchos pentacubos (29 en total) y presento en este apartado los 12 similares a los pentaminós (y por esto se les llama pentacubos en dos dimensiones).

Buscar los 17 pentacubos restantes en tres dimensiones.

Hexaminós

Un hexaminó es una figura geométrica compuesta por seis cuadrados unidos por sus lados.

A continuación dibujo y presento los posibles hexaminós (falta el rectángulo 1 x 6).
Hay 19 hexaminós.
Intente dibujarlos sin mirar la solución


lunes 12 de octubre de 2009

C. Cubrir un rectángulo 3 x 20 con los 12 pentaminós.**(Ver soluciones en mi libro)

CON LOS 12 PENTAMINÓS CUBRIMOS RECTÁNGULOS SIN DEJAR HUECOS

Puzzles de gran dificultad**

A. Cubrir un rectángulo de 6 x 10 con los 12 pentaminós.**(Ver soluciones)

B. Cubrir un rectángulo de 5 x 12 con los 12 pentaminós.** .**(Ver soluciones)

C. Cubrir un rectángulo de 3 x 20 con los 12 pentaminós.**
Solución al C. Sólo hay dos soluciones-puzzles a los pentaminós para el rectángulo de 3x20.
¡Mira!

En páginas WEB de Internet se pueden encontrar todas las soluciones para todos los rectángulos posibles.
Un rectángulo-puzzle con los 12 pentaminós, de 4x15, tiene 368 soluciones posibles.
Un rectángulo-puzzle con los 12 pentaminós, de 5x12, tiene 1010 soluciones posibles.



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PUZZLES EN CUADRADOS CON HUECO, CUBIERTOS CON LOS PENTAMINÓS. EL HUECO PUEDE CUBRIRSE CON UN TETRAMINÓ.
Con los 12 pentaminós se puede rellenar un cuadrado 8x8 dejando un hueco lo más centrado posible.

D. 2 Puzzles con un hueco. Colocar los 12 pentaminós en el cuadrado en la parte sombreada y dejar libre 4 huecos en blanco.


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VER SOLUCIONES EN EL LIBRO

MÁS PUZZLES CON LOS 12 PENTAMINÓS**
Una de las páginas WEB que tiene una buena colección de problemas con pentaminós es la siguiente:
http://www.snaffles.demon.co.uk/pentanomes/
Y en esta otra dirección hay un programa en Java, que permite resolver tableros rectangulares de distintas dimensiones en los que se pueden colocar huecos. http://godel.hws.edu/java/pent1.html

24.- POLIMINÓS.PENTAMINÓS.PUZZLES

La primera noticia sobre los poliminós pertenece a 1954. El matemático Solomon W. Golomb publicó un artículo “Tableros de damas y Poliminós” y posteriormente Martín Gardner ha publicado diversos artículos sobre ellos.
Los poliminós son un grupo de cuadrados unidos por los lados, de tal forma que cada dos de ellos tienen al menos un lado común. Los más conocidos son los pentaminós. Los construimos sobre cartón o cartulina para su manejo en 3D, volcarlos, girarlos, pues en dos dimensiones habría más poliminós
.
Uniminós: formados por un solo cuadrado.
Dominós: formados por dos cuadrados.
Triminós: formados por tres cuadrados.

Tetraminós: formados por cuatro cuadrados.
Ver la siguiente ilustración





Pentaminós: formados por cinco cuadrados.
Hexaminós: formados por seis cuadrados.
Un pentaminó es una figura geométrica compuesta por cinco cuadrados unidos por sus lados. Asignamos letras (por su parecido) a los 12 pentaminós:
I Y L V X U F ó R N P Z T W
Solución de los 12 pentaminós
(¿Sabe hacerlos sin mirar la solución?)
Podemos darle la vuelta en el espacio tridimensional y girarlos.
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domingo 11 de octubre de 2009

23.- Puzzle original propuesto por el autor

¿Será posible formar un cubo de 3x3x3 con las siguientes piezas?

D. ¿Cuál será la solución especular del cubo soma de la siguiente construcción?

SI COLOCAMOS UN ESPEJO A LA DERECHA DE ESTA SOLUCIÓN,
¿CUÁL SERÁ LA SOLUCIÓN CODIFICADA?
¿ES LA MISMA SOLUCIÓN O ES DIFERENTE?
Codificar la nueva solución(SOLUCIÓN EN LIBRO)

Construir el cubo Soma a partir de una solución codificada

Cada pieza del cubo Soma tiene asignado un número. Además tiene un color diferente cada pieza para hacerlo más atractivo y también puede servir para distinguirlas.


Ya se ha explicado en la entrada anterior la forma de codificar una solución del cubo Soma.
Vea la siguiente codificación de una solución del cubo Soma:

166/ 446/ 244/
117/ 356/ 222/
377/ 357/ 355/


Con esta solución codificada es fácil ver las plantas del cubo Soma

Ejercicios
1.-Hacer las piezas y construir el cubo Soma con la solución codificada anterior.
2.-Al girar el cubo construido 90º, de nuevo aparece otra solución codificada y el cubo no es necesario deshacerlo. Codificar la nueva solución al girarlo un cuarto de vuelta completa.


sábado 10 de octubre de 2009

¿CÓMO SE PUEDEN CODIFICAR LAS SOLUCIONES DEL CUBO SOMA?

YA TENEMOS UNA CONSTRUCCIÓN DEL CUBO SOMA
A cada pieza le hemos asignado un único número para que sean distinguibles por ser distintas. Cada planta contiene 9 cubos y asignamos el número del policubo en el lugar que ocupe en cada planta.
No es necesario asignar color pero aquí es más ilustrativo y una imagen puede valer 1000 palabras.
En la siguiente solución el tetracubo 5 está en la planta 1 y en la planta 2. El tetracubo 7 está en la planta 1 y planta 2. El tetracubo 2 está en la planta 1, en la planta 2 y en la planta 3. El tricubo está en la planta 1 y en planta 2. El tetracubo 6 está en la planta 2 y planta 3.

¿LO HA ENTENDIDO?

PUES CONSTRUYA EL CUBO CON ESTA SOLUCIÓN CODIFICADA,

Ejemplo ilustrativo de una construcción del cubo Soma

CONSTRUCCIÓN ILUSTRATIVA DEL CUBO SOMA.

FASE -1 FASE-2
¡Mira el proceso!

FASE-3
FASE-4 FASE-5
Totalidad de Imágenes del libro creadas por el Autor



22.Piezas del cubo Soma.Trama isométrica.Tetracubos en trama.

El cubo Soma es un puzzle popular diseñado por Piet Hein (poeta y matemático danés).
Es un cubo de 3x3x3 que contiene siete piezas: hay un trícubo y seis tetracubos.
Para distinguir las piezas, a cada bloque le asignamos color y número específico.
Las 7 piezas del cubo Soma:

Las piezas 5 y 6 parecen iguales pero no lo son. (Son figuras enantiomorfas).
En la imagen están los números asignados a los tetracubos y al tricubo se le asigna el número 1.
La finalidad del puzzle-cubo-soma es construir con las siete piezas, un cubo más grande de 3x3x3. Los 6 tetracubos forman 6 figuras diferentes y cada pieza se forma con 4 cubos exactamente iguales. El tricubo tiene tres cubos iguales y forman el símbolo de ángulo recto.

EJERCICIOS
1.-Hacer las piezas del cubo soma con cubitos de madera u otro material e intentar formar el cubo.
Hay muchas soluciones. Hay 240 soluciones.

2.-Dibujar en la siguiente trama isométrica las piezas del cubo Soma.

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Con las siete piezas construidas formar el cubo. Este ejercicio es compatible para invidentes.

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E. El solitario cuadrado 5x5

Cada jugada consiste en saltar con una pieza cualquiera sobre otra adyacente, si la siguiente está vacía; la ficha intermedia es retirada del tablero como en el juego de las Damas; los saltos pueden hacerse en cualquier dirección excepto en diagonal.El objetivo es dejar una sola ficha en el estado final.
SITUACIÓN INICIAL



Las soluciones están al final del libro. En el índice se localizan los juegos, el enunciado y presentación y la correspondiente página de la solución o soluciones.
SITUACIÓN FINAL

Continuación - Solitario francés

ES UNA EXTENSIÓN DEL SOLITARIO DEL CABALLERO DE LA BASTILLA.
Proceso: Después de un primer macromovimiento quedará así:
Después de un segundo macromovimiento quedará así: Seguimos con el tercer macromovimiento para dejarlo así: Posteriormente se llega a la situación:


Y la situación final
Ver salto a salto en el libro"Juegos de Matemáticas con soluciones"




D. Solitario francés

Parecido o similar al solitario del caballero de la Bastilla.
Se ha extendido el tablero. Tiene 44 fichas o piezas y se trata de dar saltos como en las damas y eliminar todas las fichas excepto una que debe quedar en el centro.
Situación inicial:

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viernes 9 de octubre de 2009

C. Solitario triangular

Las 14 fichas situadas según se indica en la figura, saltan en dirección de 60º ó diagonal y también saltan y se eliminan en horizontal.Se elimina la ficha central en cada salto, como en el juego de las damas. El objetivo del juego es dejar sólo una ficha después de varios saltos.

miércoles 7 de octubre de 2009

Prelación de los macromovimientos en el solitario del caballero de la Bastilla

Después del primer movimiento quedan las fichas en la situación que indica la figura (ab· b=a) y a partir de aquí se realizan los siguientes macromovimientos:
1er Macromovimiento :
El rectángulo de color naranja con el catalizador b exterior.

Segundo macromovimiento:
L color verde.

3º y Cuarto Macromovimiento:
El rectángulo de la derecha y superior de color azul.
.

Quinto Macromovimiento:
La L girada superior con su respectivo catalizador.
Cada macromovimiento con su catalizador correspondiente.

Estudio matemático del juego del solitario de la Bastilla y su solución

Grupo de Klein.

Este juego es un Grupo de Klein.

Es el grupo conmutativo de cuatro elementos que llamaremos a, b, ab, 1.
El 1 es la unidad del grupo.

Ver una solución conpleta con los respectivos macromovimientos en archivo de este blog

B. Solitario de la Bastilla. Estudio de una solución

Son necesarias 32 fichas y un tablero con el dibujo para colocar las fichas; al empezar a jugar la casilla central está vacía; cada jugada consiste en saltar con una pieza cualquiera sobre otra adyacente, la cual es retirada del tablero, como en el juego de las Damas; los saltos pueden hacerse en cualquier dirección excepto en diagonal.
Los saltos realizados en cadena con una misma ficha cuentan como una sola jugada.

La finalidad es eliminar todas las fichas excepto una, que debe terminar ocupando el puesto o cuadradito central. El número de jugadas mínimo, hasta ahora conocido, para resolverlo es 18.



Estado final

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Estudio por episodios del juego de la Bastilla
PRIMER MOVIMIENTO
En la siguiente imagen se observa el primer salto y eliminación de una ficha.


MACROMOVIMIENTOS

Después del primer salto o movimiento se presentan esquemáticamente los siguientes. En las siguientes imágenes se presenta la situación primera del macromoviento y la última después de pocos saltos. La ficha catalizadora está en otro color.

Macromovimiento A
De una situación parcial de 7 fichas en a), se pasa a b) en los primeros movimientos (la casilla con la ficha coloreada es el catalizador). Los saltos se restringen a la zona izquierda del tablero.
Macromovimiento B y situación posterior
Estado inicial y Final de este macromovimiento

Macromovimiento C.




Dos rectángulos.
Estado inicial…


y final de este macromovimiento.

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MACROMOVIMIENTO D

Después de varios saltos, en cada macromovimiento, nos quedamos con una ficha. Se han eliminado seis fichas en cada macromovimiento. En la situación final quedará sólo una ficha central.

NOTA.En mi libro, en las soluciones, se han enumerado las casillas del tablero y se puede seguir salto a salto cada movimiento.Además se incluyen varias soluciones diferentes a ésta y la solución record de 18 movimientos; al ser simétrica puede decirse que hay más de una solución pero fundamentalmente es la misma.

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SOLITARIOS-PIRÁMIDE Y TRANSITORIO

l) Pirámide.
Estado inicial -16 piezas; Estado final : 1 ficha

m) Transitorio.
De 16 fichas en el estado inicial se pasa mediante sucesivos saltos a la final de una ficha.

SOLITARIOS-SUBMARINO Y CRUZ

Solitarios de nivel medio sobre la plantilla del conocido solitario del Caballero de la Bastilla.

j) Submarino.
Con 6 piezas pasamos mediante saltos a 1 ficha.

k) Cruz griega.
De 8 fichas damos saltos y pasamos a tener sólo 1.


martes 6 de octubre de 2009

21.2.-Solitarios-CRUZ-GORRA-SOMBRERO-VELA-CONDENSADOR-CONTRAFUERTE-ANTENA

MACROMOVIMIENTOS.
PASAR DE LA SITUACIÓN INICIAL A LA FINAL DESPUÉS DE VARIOS SALTOS
c) Cruz. Situación inicial de 9 fichas.
Final: 1 ficha


d) Gorra.
Pasar de 10 fichas a una.

e) Sombrero.
De 11 fichas pasar a una mediante saltos

f) Vela. Con la disposición de la imagen pasar de una situación a otra.


g) Condensador m de manuel

Pasar del estado inicial de 10 fichas al estado final de 1 ficha.

h) Contrafuerte 7
De 7 fichas pasar en varios saltos a 1 ficha.

i) Antena 7. Le iba a llamar antena 3 por sus 3 posiciones en forma de antena.

21.Solitarios. Solitario del Caballero de la Bastilla

Cada jugada consiste en saltar, con una pieza cualquiera sobre otra adyacente si la siguiente está vacía y la ficha intermedia es retirada del tablero, como en el juego de las Damas; los saltos pueden hacerse en cualquier dirección y sentido, excepto en diagonal.Los juegos propuestos consisten en quedarse sólo con una pieza al final del juego. Del estado inicial pasar con sucesivos saltos al estado final.
Si no quiere pensar mucho puede ir al apartado de las soluciones.


A. Solitarios sencillos


a) Escuadra. De cuatro fichas dar saltos para quedarse con una pieza o ficha.




b) Corona. De 8 fichas dar saltos para quedarse con una.

CONTINÚA EN LA SIGUIENTE ENTRADA...

20.-La suma de Gauss

Esfera del reloj analógico.
Trate de dividir la esfera del reloj en seis partes, de forma que en cada parte, la suma de los números sea la misma.
Gauss tenía 10 años y el profesor propuso el siguiente cálculo:
1+2+3+4+5+6+…..+95+96+97+98+99+100

Gauss observó que 1+100 = 2 + 99 = 3 + 98 = …
Como hay 50 parejas y todos los pares de los números equidistantes suman 101, multiplicó 101· 50=5.050 y el profesor se quedó asombrado.
Gauss llegó a ser uno de los mejores matemáticos de la historia. Un matemático no se reduce a calcular el 2+2+2+2++2+2+2+2+2+2+2+ …250….+2+2+2; se pone a pensar.
Cálculo gráfico de 1+3+5+7+9+11


A. Ejercicio propuesto: Calcular 1-2+3-4+5-6+…..-96+97-98+99-100
B.
Ejercicios propuestos: Calcular
a)
100+102+104+106+…+996+998+1000=
b) 3+6+9+12+…+135= c) 1+2+3+4+…+998+999+1000=

Problemas:

1.- En una progresión aritmética, la suma de los términos primero y quinto suman 2 y el sexto término es cuatro veces el cuarto término. Calcular el término de lugar 100.

2.- Progresión geométrica y el trigo en el conocido problema del inventor del ajedrez.
¡El rey no pudo satisfacer el deseo del inventor! ¿Por qué?

Pista: Calcula aproximadamente el volumen de trigo(1) que ocupa 2^64 GRANOS DE TRIGO

si 1 metro cúbico es aproximadamente 15millones de granos;

1 m^3 es proximadamente 15 · 10^6 granos

(1)Nota. El grano maduro del trigo tiene hidratos de carbono, (fibra cruda, almidón, maltosa, sucrosa, glucosa, melibiosa, pentosanos, galactosa, rafinosa),nitrogenados (principalmente proteínas: Albúmina, globulina, prolamina, residuo y gluteínas), lípidos (ac. Grasos: mirístico, palmítico, esteárico, palmitooleico, oléico, linoléico, linoléico),sustancias minerales (K, P, S, Cl ), agua junto con pequeñas cantidades de vitaminas (inositol, colina y del complejo B), enzimas ( B-amilasa, celulasa, glucosidasas ) y otras sustancias como pigmentos.
La fibra cruda está reducida, casi exclusivamente al salvado y la proteína se encuentra por todo el grano.
Fuente:
www.monografias.com/trabajos6/trigo/

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19.-Aritmetógonos y trenes numéricos

En un aritmetógono, el número que está en un cuadrado es suma de los que están a su lado en círculo,

Resuelva los siguientes aritmetógonos
A.

B.

Trenes numéricos
Sea una secuencia de números y cada número se obtiene como la suma de los dos anteriores:

Calcular el valor numérico de cada letra en los siguientes trenes:


18.-Matrices incompletas


17.- Figuras de un solo trazo continuo

Sin levantar el lápiz del papel se pueden dibujar todas las figuras excepto dos que no pueden dibujarse de un solo trazo.¿Cuáles no pueden realizarse con un solo trazo?


Esta figura tiene distintas soluciones.12345678; 87654321; … Al ser simétrica podemos girar la figura o bien empezar el trazo por otro vértice del triángulo interior.
Solución: 2 ,6,7/2, 3, 5,4,7/2, 8, 1; en sentido contrario 1,8,7/2,4,5,3,7/2,6,2; o bien por otro vértice del triángulo.

16.- Una línea quebrada de 4 segmentos

Sin levantar el lápiz o el bolígrafo del papel, trazar una línea quebrada continua, formada por cuatro segmentos de forma que pase por todos los puntos de la siguiente figura.


15.- La división entera

A.Completar la siguiente tabla de divisiones enteras:


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B.Calcular el resto de las siguientes divisiones sin hacerlas del modo tradicional:
a) D = 4354324; d = 11

b) D = 34567; d = 2
c) D = 34567; d = 3

d) D = 34567; d = 4
e) D = 34567; d = 5

f) D = 34567; d = 9

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C. Al usar la calculadora vemos que 34567/7 =4938,14286
¿Calcular el resto de la división entera 34.567/7?

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D. Pruebas de la división

Investiga la prueba del 9 y prueba del 11.
Observe la siguiente división entera realizada:

D = 47624; d=14;c = 3401; r =10

¿Está bien realizada?

Investiga que D = d · c + r


a) Comprobarla en base 10

b) Aplicando la prueba del nueve

c) Aplicando la prueba del 11
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14.- Estaturas de mayor a menor

A) Juan, Pedro y Alberto son más bajos que José.
B) Alberto, Enrique y José son más altos que Juan.
C) Juan y Enrique tienen números pares.

¿Sabes cuál es el nombre de cada uno?



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13.-El montón del 30. Números naturales


Cada jugador, por turno, toma 1, 2 ó 3 fichas del montón de 30,

hasta que no queden fichas. Pierde el jugador que toma la última ficha.


Busca una estrategia ganadora



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12.-CALCULO MENTAL CON FACTORES MENORES QUE 20

Observa el procedimiento lógico del producto de números menores que 20


17 · 13 = 17 · 10 + 17 · 3 = 17 · 10 + 10 · 3 + 7 · 3 = (17 + 3) · 10 + 7 · 3 = 221

18 · 12= (18 + 2) · 10 + 8 · 2 = 200 + 16 = 216

Busca y localiza el producto que no está emparejado

Calcula mentalmente y lo más rápidamente posible los siguientes productos:
19 · 17=
----------
16 · 13 =
----------
12 · 12 =
----------
12 · 15=
----------
14 · 14=
-----------
14 · 15 =
----------
11 · 17 =
----------
14 · 18=
----------
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11.-COMPLETAR CUADRO

¿SABES COMPLETAR EL SIGUIENTE CUADRO?

¿OBSERVAS ALGUNA RELACIÓN ENTRE LAS COLUMNAS?
SI EL MATERIAL SE HACE CON PIEZAS DISTINGUIBLES AL TACTO Y UN CUADRO DE DOBLE ENTRADA EN UN PLANO CARTESIANO PUEDE APLICARSE PARA INVIDENTES.
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lunes 5 de octubre de 2009

9.- JUEGO DEL ACHI.Clic en imagen.


El juego del Achi es conocido también por tres en raya sencillo y se necesitan dos jugadores.

Cada jugador dispone de tres fichas, de diferente color o distinguibles.
Se toma turno para empezar y alternativamente colocan las fichas una a una en los círculos.

Gana el primer jugador que coloque tres fichas en línea.

Si han colocado las fichas en los círculos y no han formado línea, mueven por su turno las fichas en otros círculos que estén vacíos adyacentes o siguientes sin saltos, hasta que algún jugador consiga tres en línea. Buscar la estrategia ganadora para el primer jugador.
SI LAS PIEZAS SON DISTINGUIBLES AL TACTO, ESTE JUEGO ES COMPATIBLE PARA INVIDENTES.
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8.-PROPIEDAD DISTRIBUTIVA

8.1.- Completar las siguientes expresiones numéricas, haciendo uso de la propiedad distributiva.

a) 8 · (6 + …) = 8 · 6 + 8 · 3 = …
b) …· (4 + 8 ) = 6 · 4 + 6 · 8 = …
c) 3 · (… + 5 ) = 3 · 9 + 3 ·… = …
d) 6 · ( 7 + 8 ) = 6 ·…. + 6 ·… = …
e) 6 · (7 + 10 + 3 + 6 + 4 )= 6 · 7 + … · … + … · … + 6 · … +... · ... = …

8.2.- Observa el ejercicio resuelto
9 · 125 = 9 · (100+20+5) = 9 · 100+9 · 20+9 · 5 = 900+180+45 = 1.125

Completar los pasos sucesivos, aplicando la propiedad distributiva, de los siguientes cálculos, escribiendo sobre las líneas de puntos.

147 · 4 = 4 ·… + 4 · … + 4 · ... = … + … + … = 588

8.3.- Aplicando la propiedad distributiva, calcular:
a) 346 · 3=
b) 457 · 4=
c) 367 · 7=
d) 568 · 5=
e) 931 · 5=
f) 967 · 8=
MATERIAL COMPATIBLE PARA ALUMNOS CIEGOS
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SUSTITUIR LOS SÍMBOLOS POR NÚMEROS

B. Ejercicio propuesto

Sustituir los símbolos de interrogación ?
por números para completar
correctamente la multiplicación.



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