FRACCIONES EGIPCIAS
Una fracción egipcia es una fracción unitaria y cualquier fracción es suma de fracciones unitarias distintas. (Fracciones de numerador 1 y cuyos denominadores sean enteros positivos distintos).
1/2, 1/3, 1/4, 1/5,...,1/n,...son fracciones egipcias o fracciones unitarias.
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| Pirámide de Keops |
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| Dibujo en jeroglífico |
Veremos que cualquier fracción unitaria se puede expandir indefinidamente y llegar a una parte de la serie armónica*.
- Hay diferentes procedimientos para expresar una fracción propia en suma de fracciones egipcias.
1.-Expresar la fracción 11/16 en suma de fracciones egipcias.
En este caso, el denominador es un número compuesto sencillo. Los divisores de 16 son: 1, 2, 4, 8 y 16.
Se eligen los mayores divisores del denominador que sumen el numerador. Se descompone en fracciones simples y se simplifica. Así de sencillo en este caso.
Solución
2.-Procedimiento gráfico. Descomponer en fracciones egipcias 27/32
Se dibuja un polígono sencillo, se divide en 32 partes iguales y se colorean 27 de ellas.
Observando el siguiente rectángulo 4 x 8 y los divisores de 32 que son: 1, 2, 4, 8, 16, 32 y que el numerador de la fracción 27 = 16 + 8 + 2 + 1, al descomponer la fracción 27 / 32 en fracciones sencillas, queda que 16/32 = 1/2, 8/32 = 1/4, 2/32 = 1/16 y 1/32 = 1/32
Solución
3.- Otro procedimiento. Descomponer en fracciones egipcias 14/15.
Nota: Se trata de que las fracciones egipcias resultantes sean simples y diferentes.
A.-Se amplifica la fracción y se procede como antes.
Solución
B.-Otro procedimiento. Extraido de Internet(Wikipedia).
Descomponer 27/32 en suma de fracciones egipcias.
Entre corchetes, en matemáticas, se lee y quiere decir la parte entera del interior.
La fracción 27/32 del ejemplo 2 anterior tiene la siguiente solución, diferente a la gráfica pero es correcta porque son fracciones egipcias.
Al dividir 32 entre 27 nos da 1'185...
Parte entera de 1'185... + 1 = 2
La primera fracción egipcia es 1/2
Calculamos en forma de fracción, 27/32 - 1/2 = 11/32
Dividimos 32/11 = 2'90909091
Si n es un número compuesto, se puede descomponer además así:
Descomponer 27/32 en suma de fracciones egipcias.
Entre corchetes, en matemáticas, se lee y quiere decir la parte entera del interior.
La fracción 27/32 del ejemplo 2 anterior tiene la siguiente solución, diferente a la gráfica pero es correcta porque son fracciones egipcias.
Al dividir 32 entre 27 nos da 1'185...
Parte entera de 1'185... + 1 = 2
La primera fracción egipcia es 1/2
Calculamos en forma de fracción, 27/32 - 1/2 = 11/32
Dividimos 32/11 = 2'90909091
Parte entera de 2'90909091 + 1 = 3
Segunda fracción egipcia es 1/3
Observe la resta 11/32 - 1/3 = 1/96, que es fracción egipcia. Se acaba el procedimiento.
Tercera fracción egipcia es 1/96.
Solución
Otros ejemplos con este procedimiento:
11/16 = 1/2 + 1/6 + 1/48; 14/15 =1/2 + 1/3 + 1/10;
8/19 = 1/3 + 1/12 + 1/228; 7/11 = 1/2 + 1/8 + 1/88;
- Descomponer 7/9 en fracciones egipcias y graficar su descomposición.
Solución
- Ejercicio propuesto: Encontrar, utilizando este procedimiento, una fracción que se descomponga en 4 fracciones egipcias.
- Descomponer las fracciones siguientes: 11/19, 12/19 y 17/19; dos se descomponen en tres fracciones egipcias, y otra se descompone en 4 fracciones egipcias(unitarias, simples y diferentes).
C.-Caso personalizado de MGR. Descomponer en fracciones egipcias la fracción n/(2n-1) para n cualquier número natural.
Solución:
a) Primer paso: Observa que n/(2n-1) > 1/2 porque 2n > 2n-1
b)Segundo paso: Calculamos B en la ecuación: n/(2n-1) = 1/2 + 1/B;
Resolvemos: 1/B = 1/n(2n-1)
D.-Descomponer en fracciones egipcias 1/n y 2/n.
Caso 1/n
Para cualquier número natural n, primo o compuesto, se verifica que:
Una fracción
egipcia puede expandirse pues se descompone a su vez en
otras dos fracciones unitarias.
Las fracciones egipcias se pueden expandir en otras egipcias indefinidamente y llegar a una parte de la serie armónica.
Continuará esta entrada si Dios quiere
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Referencias:
- Matemáticas-6.1991. Manuel García Ruiz. Depósito legal: A-846-1991
- Curso con Coordinador del Centro de Profesores de London.
- Este trabajo, los ejercicios elaborados y las ideas pedagógicas son originales.
- *Serie armónica: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + ... En matemáticas, esta serie es infinita y la suma es igual a infinito y por esto se dice que diverge o que la suma de la serie armónica es divergente.
Continuará si Dios quiere
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